האינסוף מתאר המשכיות, מצב בלתי נגמר. בינתיים, אפילו בלתי ניתן להוכיח שהאינסוף קיים ביקום או במתמטיקה, ואינו רק פרי דמיון האדם. זאת מכיוון שבלתי ניתן למדוד את האינסוף בצורות המדידה שאנו מכירים. סביר להניח שהקושי של מתמטיקאים ופיזיקאים למדוד או להשתמש במושג האינסוף, נובע מכך שהוא שונה מאוד מהחוויה האנושית: בחוויה שלנו לכל מקום (בית, מדינה, כדור הארץ) יש גבולות, ואנו יודעים שאם נלך מספיק רחוק, נצא מהגבולות הללו ונכנס לתוך מקום אחר, שגם אותו נעבור אם נלך רחוק מספיק. ידוע לנו שכל דבר חי סופו למות, וגם הסוף שלנו יגיע. אך אם החוויה האנושית סופית, היכן אנו נתקלים במושג האינסוף?

בחיי היומיום, אנו נתקלים במושג האינסוף כאשר אנו סופרים. כשילד לומד לספור, הוא סופר תחילה רק עד מספר מסוים, נניח עד 10, או 100. לאחר מכן, הוא לומר שלא משנה כמה הוא יספור ועד איזה מספר יגיע, הוא תמיד יוכל להוסיף 1, ולכן הוא יכול להמשיך לספור לנצח, כלומר, שקיימים אינסוף מספרים. נביט על שלושה מספרים גדולים במיוחד:

גוגל – 1 ואחריו מאה אפסים. ניתן לכתוב אותו גם כך: 10¹⁰⁰. המספר הזה כל כך גדול, שאם נספור את כל האטומים ביקום הנצפה, מספרם לא יגיע לגוגל אטומים. מדובר במספר שהוא גדול יותר מכל מה שמוכר לנו בחוויה האנושית.

גוגלפלקס – 1 ואחריו גוגל אפסים. ניתן לכתוב גם כך: . מספר שהוא כל כך גדול, שאין מקום בכל היקום הנצפה אפילו רק כדי לכתוב אותו, גם אם נכתוב כל ספרה על אטום.

גרהאם – מספר זה גדול בהרבה מגוגלפלקס. הוא גדול כל כך, שההפרש בינו לבין גוגלפלקס יותר גדול מההפרש בין גוגל פלקס ל-100. אף אחד לא יודע כמה אפסים יש במספר גרהאם, אפילו לא רונלד גרהאם בעצמו. ידוע רק שהספרה האחרונה שלו היא 7. זהו המספר הגדול ביותר שיש לו שימוש.
גראהם הוא אומנם מספר גדול מאוד, אך הוא אינו קרוב יותר לאינסוף מאשר המספר 1.

עכשיו נביט על תכונה מעיינת של האינסוף:
נכתוב את הסדרה האינסופית הבאה: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12....
ואז ניקח את המספרים הזוגיים בסגרה, ונבנה סדרה נוספת: 2,4,6,8,10,10....
היינו מצפים שהסדרה השנייה תהיה מורכבת מחצי מכמות המספרים שמהם מורכבת הסדרה הראשונה, אך לא כך הדבר. מכיוון שמדובר בשתי סדרות שמגיעות עד אינסוף, בשתיהן יהיו אינסוף מספרים, כלומר כמות שווה של מספרים.

לפני 100 שנה, מתמטיקאי ניסה להסביר תכונות משונות של האינסוף. לכן, הוא המציא את החידה הבאה:
האם במלון שבו יש אינסוף חדרים, וכל החדרים בו מאוישים, יהיה חדר לאדם נוסף?
התשובה לחידה הזו היא: כן.
כיצד נעשה זאת? נצטרך להעביר את האורח הראשון לחדר השני, את האורח השני לחדר השלישי וכך הלאה. מכיוון שיש במלון מספר אינסופי של חדרים, תמיד יהיה לאן להעביר את האורחים. כך יהיה מקום לאדם נוסף בחדר הראשון, שנותר עכשיו ריק.

כלומר:  = 1 +

גם אם יבואו 2 אורחים נוספים למלון, ניתן יהיה לפנות עבורם חדרים באותה דרך: נעביר את האורח מהחדר הראשון לחדר השני וכן הלאה, ואז נעשה זאת שוב: נעביר את האורח השני לחדר השלישי וכן הלאה.
אם יבואו אינסוף אורחים למלון, ניתן יהיה לפנות להם חדרים בכך שנעביר כל אורח לחדר שהמספר שלו כפול משלו: את האורח מחדר 1 נעביר לחדר 2, את האורח מחדר 2 נעביר לחדר 4 וכן הלאה.
כלומר:  =  +
אך לא כל פעולה שנעשה עם אינסוף תשאיר לנו אינסוף. למשל, אם כל האורחים במלון יעזבו, נישאר עם 0 אורחים.
כלומר: 0=  -
אבל, אם כולם יעזבו חוץ מאורח אחד, תהיה לנו תשובה אחרת לאותו ביטוי,
כלומר: 1=  -
לכן צריך להיזהר במיוחד כאשר משתמשים באינסוף במתמטיקה.
כיום, קיימת דעה רווחת לפיה היקום כולו הוא אינסופי. אם דעה זו נכונה, יכולות להיות לה השלכות מרחיקות לכת. יקום אינסופי הוא יקום בו כל תרחיש שכפוף לחוקי הפיזיקה, יכול לקרות.

נניח שקיים יקום קטן מאוד, שבו יש קיימים רק 2 סוגי חלקיקים: כחול ואדום, וכל כוכב לכת מורכב מ-4 חלקיקים. זה משאיר 16 אפשרויות שונות לסידור החלקיקים:



אם כל אחד מרביעיית החלקיקים הוא כוכב, ונוסיף כוכב 17 שיהיה מסודר בסדר אקראי כלשהו, אז הוא יהיה חייב להיות זהה לאחד מ-16 הכוכבים שבנינו קודם.

ביקום הנצפה יש המון חלקיקים, אבל עדיין מדובר במספר סופי של חלקיקים, ולכן מספר הסידורים האפשרי של החלקיקים גם הוא סופי. אם היקום הוא אינסופי, זה אומר שלמרות שהסיכוי הוא קטן מאוד, חייב להיות איפשהו ביקום כוכב לכת שהוא בדיוק כמו כדור הארץ. זאת מכיוון שלמרות שמספר האופציות לסידור של החלקיקים ביקום הוא מאוד גדול, הוא לא מגיע לאינסוף.

נתבונן בתאוריה הבאה: אם אינסוף קופים ישבו מול אינסוף מקלדות ויקלידו בהן ביטויים באקראי, האם בינתן זמן אינסופי, הם יקלידו את כל כתביו של שייקספיר? פרופסור באוניברסיטת קיימברידג' בדק את התאוריה באמצעות מחשב שתוכנן למצוא ביטויים אקראיים, ולתעד אם הביטויים האקראיים מתאימים לביטויים בכתביו של שייקספיר. הם הגיעו לכדי מסקנה שהאפשרות שקוף יקליד את כל כתבי שייקספיר היא 1 ל-1 שאחריו אלף אפסים. זו אומנם לא אפשרות סבירה במיוחד, אבל בזמן אינסופי זה יכול לקרות אפילו כמה פעמים. בזמן אינסופי קוף יכול להקליד כל ספר שאי פעם נכתב, כמה פעמים. כמובן, כל עוד הקוף לא לוחץ על אותן אותיות כל הזמן.

אם היקום הוא אינסופי, זה אומר שצריך להיות בו מספר אינסופי של קופים, ואחד מהם כנראה מקליד את כל כתבי שייקספיר ברגע זה.

אך מתמטיקאים מסוימים מסתייגים ממושג האינסוף. מכיוון שמדובר במושג שעדיין לא הוכח, כלומר, אין הוכחה ממשית לקיומו של אינסוף – מבחינת מתמטיקאים מסוימים, הוא אינו קיים.
אז לפי המתמטיקאים האלו, כמה מספרים יש?
קיימת הטענה, כי קיים מספר שהוא המספר הגדול ביותר, אך הוא עדיין לא התגלה. כאשר מוסיפים למספר הזה 1, הוא חוזר בחזרה ל-0.
ומה לגבי גודלו של היקום?
לגבי היקום קיימת טענה דומה, לפיה אם נסע ישר מספיק זמן ביקום, נגיע לאותה נקודה ממנה התחלנו.

כלומר, ביקום ובמתמטיקה קיימת מעגליות, שעדיין לא נתגלתה על ידי האדם. האינסוף הוא בעצם "חצי הדרך" שהידע האנושי נמצא בא כרגע, על מנת להגיע בחזרה אל נקודת ההתחלה.