הכותבים במנטליקה מרוויחים תמלוגים מהפרסומות, רוצה גם? ההרשמה בחינם!
רקורסיה

רקורסיה


מה משותף לצעירה בכינרת, לקקאו הולנדי, למספרה בפתח תקווה ולרבי לוי בן גרשום?
אתחיל במספרה, בלי קשר ל"תספורות" הידועות לאחרונה לשמצה. בילדותי בפתח תקווה, שנים ספורות לאחר קום המדינה, נהגה אמי להפקיד אותי בידיו האמונות של הספר ברחוב שטמפפר. בעת שהמאסטרו קיצץ ברעמת ראשי התבוננתי מוקסם בבבואה שהשתקפה בקיר מולי, שמראות כיסו אותו לכל רוחבו. לא מעשה הגז עניין אותי, אלא הסדרה האינסופית של דמותי ודמות הספר שהשתקפו הלוך וחזור מהקיר שממולי ומהקיר שמאחוריי שהיה אף הוא מכוסה במראות.

לא זכור לי אם עמדתי אז על הקשר בין חזיון הבבואה שמכילה את השתקפותה אינספור פעמים, לבין קופסת הקקאו ההולנדי מתוצרת דְרוֹסְטֶה  (Droste) שניצבה על מדף עץ מעל ארון הקרח במטבח ביתנו. על דופן הקופסה הופיעה אשה בלבוש אחות אוחזת בידיה מגש שעליו ספל וקופסת קקאו מתוצרת דרוסטה, שעליהם הופיעה, איך לא, דמות אותה אשה בלבוש אחות וחוזר חלילה.


http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/62/Droste.jpg

גם מתמונה זו, המכילה את עצמה שוב ושוב, הוקסמתי בילדותי.

נעבור מפתח תקווה לכינרת, או בעצם לא חייבים לצאת לדרך אלא אם כן תרצו לראות בעיניכם עד כמה עלה מפלס מימי המאגר הלאומי שלנו בעונת הגשמים האחרונה. די שתזכרו בשיר "הייתה צעירה בכינרת..." (תוכלו לקרוא את הגרסות השונות של השיר, כולל הגרסה הרוסית " אוּ פַּפָּה בִּילָה סַבָּקָה..." ואף את המקור באוקראינית " Тече річка невеличка з  ..." כאן). שמתם וודאי לב לכך שכשם ששתי הדוגמאות הקודמות הציגו תופעה של בבואה שמכילה את השתקפותה ושל תמונה שמכילה את העתקיה במחזוריות אינסופית (אינסופית לכאורה, כי הדמות קטֵנה והולכת עד שהיא נעלמת מהעין), גם הדוגמה האחרונה מציגה מחזוריות של שיר שמכיל את כל מילותיו שוב ושוב עד עייפה. (עוד שיר ידוע שמכיל את מילותיו שוב ושוב: "אל המטבח בא כלב...").

צורה זו של מחזוריות, שבה דבר מכיל את עצמו שוב ושוב, קרויה רֶקוּרְסִיָה (בעברית "נסיגה"), כפי שכל מתמטיקאי וכל תכניתן יודע. קיים גם קשר הדוק בין רקורסיה ל
אינדוקציה מתמטית, אבל לא ארחיב עליו את הדיבור. רק אציין שלפי וויקיפדיה, רבי לוי בן גרשום (הרלב"ג, 1288-1344) השתמש באינדוקציה מתמטית להוכחת משפטים בקומבינטוריקה.

דוגמה שממחישה רקורסיה באמצעות אפקט דרוסטה (המכונה גם מיז-אנ-אבים - mise en abyme) מופיעה בספר אלקטרוני עם סיפור משעשע לילדים אותו כתבתי ואיירתי. הקישו על התמונה להלן לפרטים אודות הספר באתר נטבוק.